2219: 数论之神 - jcvb
2219: 数论之神
jcvb
posted @ 2013年12月09日 20:24
, 6419 阅读
给定奇数P，非负整数A,B。求[tex]x^A=B(\text{mod}P)[/tex]的解的数量。
分解[tex]P=\prod_{i=1}^k{ p_i}^{d_i}[/tex]，化为k个模互质的方程。根据中国剩余定理，原方程的解的数量等于k个方程各自解的数量的乘积。
现在只要研究[tex]x^A=B(\text{mod}p^d)[/tex]的数量。
由于p是奇数，[tex]p^d[/tex]的原根存在，取p的某个原根g即可。
两边取指标，于是化为[tex]A\text{ind}x=\text{ind}B (\text{mod}\varphi(p^d))[/tex]
这里要用BSGS求一下[tex]\text{ind}B[/tex]。
（Upd:如果[tex]B[/tex]和[tex]p[/tex]不互质，令[tex]B=B'p^t[/tex]然后再算。。之前SB了一直没改。。。现在被插掉了。。。。。今天fix了一下）
令[tex]d=\text{gcd}(A,\varphi(p^d))[/tex]，如果[tex]d|\text{ind}B[/tex]则上式有解，解的数量即为d。
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Problem: 2219
User: jcvb
Language: C++
Result: Accepted
Time:48 ms
Memory:4840 kb
****************************************************************/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define hashmod 10007
#define CNT 300000
using namespace std;
int qp(int a,int b){int ans=1;do{if(b&1)ans*=a;a*=a;}while(b>>=1);return ans;}
int qp(int a,int b,int mo){int ans=1;do{if(b&1)ans=1ll*ans*a%mo;a=1ll*a*a%mo;}while(b>>=1);return ans;}
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int divs[500];int dtot=0;
int proot(int p){
dtot=0;
int q=p-1;
for (int i=2;i*i<=q;i++)
if(q%i==0){
divs[dtot++]=i;
if(q!=i*i)divs[dtot++]=q/i;
}
for (int i=2;i<p;i++){
int ok=1;
for (int j=0;j<dtot;j++)if(qp(i,divs[j],p)==1){
ok=0;break;
}
if(ok)return i;
}
}
struct H{
int head[hashmod];
int S[CNT],V[CNT],next[CNT];
int tot;
void cl(){
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
int push(int s,int v){
for (int i=head[s%hashmod];~i;i=next[i])if(S[i]==s)return V[i];
S[tot]=s;V[tot]=v;next[tot]=head[s%hashmod];head[s%hashmod]=tot++;
return v;
}
}has;
int solve(int a,int b,int p,int al){
int pa=qp(p,al);b%=pa;
if(b==0){
return qp(p,al-((al-1)/a+1));
}else{
int bet=0;
while(b%p==0)b/=p,bet++;
if(bet%a)return 0;
int tt=bet/a;
al-=bet;
int phi=pa-pa/p;
int g=proot(p);
has.cl();
int m=int(sqrt(pa))+1;
int gm=qp(g,m,pa);
int cur=1;
for (int i=1;i<=m;i++){
cur=1ll*cur*gm%pa;
has.push(cur,i);
}
cur=b;
int ind=2000000000;
for (int j=1;j<=m;j++){
cur=1ll*cur*g%pa;
int tmp;if(tmp=has.push(cur,0))ind=min(ind,tmp*m-j);
}
int d=gcd(a,phi);
if(ind%d)return 0;
return d*qp(p,(a-1)*tt);
}
}
int main()
{
int tes;
scanf("%d",&tes);
while(tes--){
int a,b,k;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);k=2*k+1;
int ans=1;
for (int i=2;i*i<=k && ans;i++)if(k%i==0){
int al=0;
while(k%i==0)al++,k/=i;
ans*=solve(a,b,i,al);
}
if(ans && k!=1)ans*=solve(a,b,k,1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
2014年6月25日 08:27
jcvb，不知什么是两边取指标？
为什么可以从x^A变成x*indA呢,谢谢。
2014年6月25日 23:06
http://wenku.baidu.com/link?url=Kjz8oD0PIZi9tAz3baEg5M1VLaFz1ofrN3wG0o6Q8fl_j7ZpE0bz0T4gjFBPT6uU8GZCazbAp5JA-8PCwu4jtR0NWiCug9M67BH8yzb4Diy
2015年2月21日 20:15
indB不一定存在
2015年2月21日 20:40
@QAQ: 我错了。。