（以前一直想看具体数学但不敢，现在终于能有时间来受虐了233）

（挑些有趣的习题和结论记几句）

第五章

8.把它看成一个多项式的[tex]n[/tex]阶差分，比较一下系数。

12.k.要注意0的次数。

15.套结论的题。

16.同样是套结论。

20.[tex]x^{\underline{n}}=(-x)^{\overline{n}}(-1)^n[/tex]

22.一开始取对数积分算的极限，很繁。看解答发现[tex]1/(2z)![/tex]中的[tex]n\to \infty[/tex]用[tex]2n \to \infty[/tex]代，两边正好能消掉。

30.暴力展开比较系数可以做。解答是再求一次导，然后可以整理成等价的超几何级数形式。

32.多项式用不用Gosper Method都是一样的，因为和式仍然是多项式。

33.这题Gosper Method就超有用了。

34.把[tex]k \leq c[/tex]的部分和转化成一个普通超几何级数的极限。因为[tex]k \leq c[/tex]时，[tex]\frac{(-c)^\overline{k}}{(\epsilon-c)^\overline{k}} [/tex]趋于1，而[tex]k > c[/tex]时分子为0分母非0，比值就为0，所以是正确的。
（感觉可能只适用于较简单的求和？毕竟上下要各多出一项来。）

36.还不会。

37.二项式定理也适用于factorial powers，其实就是个Vandermonde卷积。

38."binomial number system" 根据[tex]\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}[/tex]再比比大小可以证明。题中是3项，显然还可以推广到任意多项。

39.被虐了一下午的题。方便起见可令[tex]p=a/y,q=b/x[/tex]（有0的情况先不管啦），那么就是[tex]p+q=1[/tex]，要证[tex]1=\sum_{k=1}^n \binom{2n-1-k}{n-1}(p^n q^{n-k}+p^{n-k} q^n)[/tex]。发现没法直接求，归纳好像也归纳不出来。看解答发现先是把结论推广到两个字母[tex]n,m[/tex]的形式，然后对[tex]n+m[/tex]归纳，试了试发现可以。因为未推广之前相当于需要从[tex]2n[/tex]推到[/tex]2n+2[/tex]，步长是2，归纳当然有困难。

40.先换求和顺序然后一路顺畅

42.Gosper Method大法好

43.按照hint的代换就能化简下来，超神奇

46.观察求和式子的特征，能化成两个generalized binomial series的卷积，再化简，帅

47.用到式(5.61)的那个结论。（虽然那个结论还不会证。。其实（5.60）也不知道怎么证。。）

51.对于退化的超几何级数，取极限时eps出现的位置和之前的系数都会影响到求和结果。。

53.z改用特定数值代入时要考虑敛散性。